Nemo et la densité

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Bien le bonjour à tous 🙂

Aujourd’hui on s’attaque à un très beau film d’animation : le monde de Nemo !

Et tout particulièrement à la scène où les poissons de l’aquarium s’échappent dans des sacs en plastiques. Regardez l’image ci-dessus, rien ne vous choque ? … Je veux dire mis à part les poissons qui parlent et les étoiles de mer avec des yeux 😉

Mmmmh quelque chose cloche… des sacs remplis d’eau ne devraient pas flotter à ce point sur de l’eau…Étudions cet extrait chimie à l’appui 🙂

Modélisation

Pour modéliser le problème on considère que les sacs plastiques sont des sphères de rayon R  (les physiciens adorent les sphères ! =P). Ces sphères contiennent un certain volume d’eau : noté Veau, et un certain volume d’air : noté Vair. On néglige la présence du poisson dans le sac plastique.

Pour bien comprendre j’ai préféré partir d’un sac partiellement rempli afin de ne pas se situer dans un cas trop particulier (sac totalement rempli ou vide).

Notre mission si nous l’acceptons : déterminer le volume du sac plastique qui est immergé et le comparer à Veau et à Vair !

Pour l’instant sur le schéma le volume immergé du sac plastique est choisi afin qu’il soit quelconque. 

schéma avec poisson

Système : sac plastique

Référentiel : terrestre, galiléen

Bilan des forces :

Le poids du sac : noté P

La poussée d’Archimède exercée par l’eau sur le sac : noté Π

La poussée d’Archimède exercée par l’air sur le sac

On va pouvoir négliger la poussée d’Archimède exercée par l’air sur le sac, cette force étant négligeable devant les deux autres. En effet la masse volumique de l’air est très faible devant celle de l’eau : ρair  = 1,225 kg.m-3 et ρeau  = 1000 kg.m-3 on a un facteur mille entre les deux donc un facteur mille entre les deux poussées d’Archimède.

giphy (1).gif

giphy.com

Calcul

Calculons le poids :

Le poids c’est le poids de l’eau et de l’air contenus dans le sachet plastique, on néglige le poids du poisson et des parois en plastique.

éq1

Calculons la poussée d’Archimède :

La poussée d’Archimède c’est le poids du fluide déplacé par le solide immergé…clarifions cela.

La poussée d’Archimède correspond à la somme des forces de pressions exercées par l’eau sur le sac plastique, ainsi elle ne s’applique pas sur toute la sphère mais que sur la partie immergée. Sa norme est égale au poids de l’eau qui a été déplacé par le ballon.

éq2

On remarque que le poids s’applique au centre de gravité de toute la sphère, alors que la poussée d’Archimède s’applique au centre de gravité du solide immergé.

Comme le solide est au repos, d’après la première loi de Newton à l’équilibre, les deux forces se compensent. On a donc :

éq3

Avec les expressions des forces et en simplifiant par g et en projetant selon ez, on a :

éq4

On isole Vimm :

éq5

Bon maintenant c’est bien on a une expression du volume du sac plastique immergé… « et maintenant que vais je-faire ? »

giphy.gif

Giphy.com

On a vu tout à l’heure que ρair  << ρeau  , ainsi ρair  ÷ ρeau  = 1,225.10-3 kg.m-3 <<1 . Si l’on suppose que les deux volumes Veau et Vair sont du même ordre de grandeur on a alors :

éq6

On en déduit donc que Vimm ≈ Veau ! 

Cela signifie donc que le volume du sac plastique immergé correspond au volume d’eau dans le sac plastique. Autrement dit que la ligne de flottaison se situe au niveau de l’eau dans le sac :), d’où le schéma modifié.

schéma ligne flottaison

giphy (2)

giphy.com

Ainsi dans le dessin animé les sacs plastiques devraient être presque totalement immergés :)…(Notez que j’ai mit un P majuscule à physicien…ça n’arrivera pas souvent ^^)

niveau mer.png


Mais on est dans la mer …

Mais au fait les sacs plastiques sont dans de l’eau de mer, l’eau de mer est salée et est donc plus dense que l’eau douce. C’est l’exemple de la mer morte où l’on flotte beaucoup plus facilement que dans d’autres mers car elle est beaucoup plus salée…Mmmh peut être que le film a raison alors…

wikipédia mer morte

Par Pete — Travail personnel de la personne qui a téléchargé le document. (Original text : Uploaded to en: by Pete, on 14 May 2005), CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=192989

Et si on essayait de déterminer la densité de l’eau de mer nécessaire pour faire flotter les sacs plastiques. 

Supposons cette fois que les sacs sont totalement remplis d’eau comme dans le film.Vair = 0. Notre mission : déterminer la masse volumique de l’eau de mer pour que la ligne de flottaison soit au niveau de la moitié du sac plastique. On veut donc Vimm = Veau /2

schéma mer

De même que précédemment à l’équilibre le poids et la poussée d’Archimède se compensent, on a donc :

éq7

Pour qu’ un sac rempli d’eau puisse flotter sur la mer, il faut donc que cette dernière ait une masse volumique de  2000 g.L-1 !!!

La masse volumique de la mer morte est de 1240 g.L-1 on est donc loin des 2000 g.L-1 !

Cette masse volumique semble donc peu plausible, mais est elle seulement possible ?

gifimage.net.gif

gifimage.com

Pour 1L d’eau pure on a 1000g.

Pour 1L d’eau de mer, il faut donc 1000g de plus pour atteindre 2000 g.L-1 !

Il faut donc 1000 g de sel NaCl dans un litre, donc une concentration de 1000 g.L-1 .

Cette valeur dépasse la solubilité du sel dans l’eau qui est de 375 g.L-1 , cela signifie que l’on ne pourra jamais atteindre la concentration de  1000 g.L-1 car le sel ne se dissout plus. Une masse volumique de 2000 g.L-1 pour l’eau de mer est physiquement impossible.

Aucune mer au monde quel que soit sa salinité ne pourra donc faire flotter un sac rempli d’eau 🙂

Et n’oubliez jamais : P sherman 42 wallaby way sydney 😉

Bibliographie

  • Wikipédia : mer morte, eau de mer : pour toutes les valeurs numériques de densité et de solubilité
  • Watts up science : https://wattsupscience.wordpress.com/?s=Ballon, avec un article de qualité sur un ballon de basket qui flotte, je m’en suis inspiré pour les calculs, merci à Charlie et Damien 
  • Je remercie l’émission faux raccords grâce à qui j’ai pu voir que en effet il y avait un problème de physique dans cet extrait du film :

 

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Un commentaire sur “Nemo et la densité

  1. je pensais qu’il serait question de densité de population dans l’aquarium.
    Plutôt de de négliger le poisson, on peut dire qu’il a approximativement la densité de l’eau, puisqu’il ne coule ni ne flotte.

    J'aime

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